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Download Algebra by MacLane S., G. Birkhoff PDF

Posted On March 4, 2017 at 7:06 am by / Comments Off on Download Algebra by MacLane S., G. Birkhoff PDF

By MacLane S., G. Birkhoff

This booklet goals to offer sleek algebra from first rules, with a purpose to be
accessible to undergraduates or graduates, and this via combining commonplace
materials and the wanted algebraic manipulations with the overall strategies
which make clear their which means and significance.

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B. 17 (b) — auch für den Fall solcher Mengen gelten, wenn man die erwarteten formalen Rechenregeln für ∞ definiert (wie z. B. 17). Analog schreibt man dann natürlich inf M = −∞ für nach unten unbeschränkte Teilmengen von R. Am Schluss dieses Kapitels wollen wir nun noch zwei einfache und oft benötigte Folgerungen aus dem Supremumsaxiom ziehen. Die erste betrifft die Existenz der oben schon betrachteten Quadratwurzeln. 25 (Existenz von Quadratwurzeln in R). Es sei a ∈ R≥0 . Dann √ gibt es genau ein s ∈ R≥0 mit s2 = a.

Der Beweis dieser Aussage ist jedoch sehr schwierig und soll hier nicht gegeben werden, zumal wir diese Aussage auch nicht benötigen werden. 24. Nach dem Supremumsaxiom existiert das Supremum sup M für jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge M ⊂ R. Um diese Notation auf beliebige nicht-leere Teilmengen von R zu erweitern, schreibt man für nach oben unbeschränkte Teilmengen M von R oft formal sup M = ∞. Dies hat den Vorteil, dass viele Aussagen über Suprema — wie z. B. 17 (b) — auch für den Fall solcher Mengen gelten, wenn man die erwarteten formalen Rechenregeln für ∞ definiert (wie z.

In der Tat gibt es eine solche: wir setzen s := s − M K s s s2 − a s2 + a = > 0. 2s 2s Natürlich ist dann s < s. Aber s ist auch eine obere Schranke für M, denn für alle x ∈ K mit x > s gilt x2 > (s )2 = s − s2 − a 2s 2 = s2 − (s2 − a) + s2 − a 2s 2 ≥a ≥0 und damit x ∈ / M. Also kann s nicht die kleinste obere Schranke gewesen sein — ein Widerspruch. 38 Andreas Gathmann „≥“: Angenommen, es wäre s2 < a. 14 (b), dass s dann für eine obere Schranke für M zu klein ist, also dass wir eine Zahl x > s finden können, die noch in M liegt.

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